Как едно ново доказателство променя представата за простите числа...
Експерти са започнали да се занимават с хипотезата за двойното просто число – един от нерешените проблеми в теорията на числата, който не може да бъде решен повече от век.
Както често се случва в математиката, хипотезата принадлежи към категорията на тези, които са лесни за разбиране, но невероятно трудни за доказване. Числата близнаци са две прости числа, разликата между които е само две единици – с други думи, те вървят едно след друго, ако се пренебрегнат четните числа. Примери за това са двойките 3 и 5, 5 и 7, 17 и 19. Има много такива двойки при малките числа, но колкото по-надолу в числовата редица отивате, толкова по-рядко се срещат.
Това не е изненадващо, тъй като простите числа се срещат все по-рядко сред големите числа. Въпреки това от древни времена е известно, че има безкрайно много прости числа, а хипотезата за двойните прости числа гласи, че има и безкрайно много такива двойки. Това означава, че независимо колко големи са стойностите, сред нечетните числа винаги ще има прости числа, които следват едно след друго.
Простите числа (2, 3, 5, 7, 11, 13 и т.н.) са като фундаментални частици в света на естествените числа. Те се делят само на 1 и на самите себе си. Всички останали естествени числа могат да бъдат разложени на прости делители, което превръща простите числа в основни градивни елементи на математическия свят.
Доказателство от древността
Математиката разполага с безкраен брой градивни елементи от прости числа. Евклид доказва това преди повече от 2000 години с прост мисловен експеримент. Да предположим, че има краен брой прости числа и най-голямото от тях е p. Тогава можем да умножим всички прости числа до p и да добавим 1: 2 x 3 x 5 x 7 x 11 x … x p + 1. Полученото число не се дели на нито едно от съществуващите прости числа. Това означава, че числото 2 x 3 x 5 x 7 x 11 x … x p + 1 е или само по себе си просто, или има прост делител, който не е в първоначалната редица от прости числа. Следователно, никой краен списък на простите числа не може да бъде пълен – винаги ще бъде възможно да се създадат допълнителни прости числа. От това следва, че има безкрайно много прости числа.
Не всички загадки на простите числа обаче са разгадани. Разпределението им по линията на числата остава загадка. Въпреки че е известно, че простите числа се срещат все по-рядко сред по-големите числа, не е възможно да се определи как точно са разпределени те.
По принцип средното разстояние между едно просто число и следващото е равно на стойността на ln(p). За малкото просто число p = 19 това отговаря на ln(19) ≈ 3. За голямото просто число 2 147 483 647 разстоянието е около 22. За самата величина на:
531, 137, 992, 816, 767, 098, 689, 588, 206, 552, 468, 627, 329, 593, 117, 727, 031, 923, 199, 444, 138, 200, 403, 559, 860, 852, 242, 739, 162, 502, 265, 229, 285, 668, 889, 329, 486, 246, 501, 015, 346, 579, 337, 652, 707, 237, 239, 409, 409, 519, 978, 766, 587, 351, 943, 831, 270, 835, 393, 219, 031, 728, 127
(също просто число), това разстояние е около 420.
Както се вижда от тези примери, средното разстояние между простите числа нараства с увеличаването на p.
Именно това прави двойните прости числа, които имат най-малкото възможно разстояние между тях (с изключение на 2 и 3) толкова интересни за теоретиците на числата. Тъй като средното разстояние между простите числа се увеличава, може да изглежда, че в даден момент няма да има повече двойни прости числа. Повечето специалисти обаче смятат обратното. Защо, разсъждават те, трябва да има някакво конкретно място на числовата линия, от което двойните прости числа внезапно да спрат да се появяват? Какво прави това място толкова специално? Теоретиците на числата предполагат, че дори и такива двойки да стават все по-редки, винаги ще е възможно да се намери друга.
Компютърните изчисления досега подкрепят това мнение. Най-голямата двойка двойни прости числа, намерена досега е: 2 996 863 034 895 x 21 290 000 + 1 и 2 996 863 034 895 x 21 290 000 – 1, като и двете имат 388 342 цифри. Компютърните търсения обаче никога не могат да докажат, че съществуват безкраен брой двойни прости числа. Това изисква по-мощни методи.
Неочаквана изненада
Малко известен математик направи пробив през 2013 година. Йитян Джан, известен дотогава само на няколко специалисти публикува статия, която се превърна в сензация в света на теорията на числата. Той не успя да докаже хипотезата за двойните прости числа, но направи важна крачка в тази посока, която е най-значителният напредък от формулирането ѝ през 19-и век.
Джан показа, че съществуват безкраен брой двойки прости числа от вида (p, p + N) с разстояние N между тях, което е по-малко от 70 милиона. Хипотезата за двойните прости числа щеше да бъде доказана, ако той беше успял да я докаже за N = 2. Вместо това Жанг доказал, че сред всички двойки прости числа с разстояние между тях по-малко от 70 милиона има поне една двойка (p, p + N), която се среща безкрайно често.
Този резултат е огромна крачка напред, тъй като математиците се интересуват не само от двойните прости числа, но и от други видове двойки прости числа, като например двойките с разстояние четири (например 3 и 7 или 19 и 23), т.нар. братовчедски първични числа, или с разстояние шест (например 5 и 11 или 11 и 17), т.нар. секси първични числа (от латинското наименование на числото шест – sex). По принцип не е известно дали съществуват безкраен брой такива двойки.
Джан постига този невероятен резултат с помощта на така наречените сита от прости числа.
Тези конструкции могат да се разглеждат като истинско сито: всички естествени числа се пресяват през него и всички стойности, които не са прости числа, се филтрират. Въпреки, че ситото на Ератостен е точно, то е трудно да се приложи към конкретни математически проблеми. Използването му за доказване на общи твърдения за простите числа в повечето случаи изглежда безнадеждно, затова Джан използва друго сито, което филтрира числата с големи прости делители. Това сито е по-малко ефикасно, но дава достатъчно гъвкавост, за да се правят обширни доказателства.
Джан работи само върху хипотезата за двойните прости числа в продължение на много години – теорията на числата не е основната му изследователска област.
Тази упоритост обаче му се отплаща: Джан доказва, че съществува поне един вид двойка прости числа с разстояние по-малко от 70 милиона, която се среща безкрайно често. Следващият пробив не отнема много време.
Теоретици на числата от цял свят възприемат резултата на Джан и се опитват да го подобрят. Това беше създаден съвместен проект, към който се присъединиха много експерти. Чрез оптимизиране на метода на Джан те успяха да намалят максималното разстояние N между двойки прости числа до стойност, възможно най-близка до 2. В рамките на няколко месеца те показаха, че съществува поне един вид двойки прости числа с максимално разстояние 4680, които се срещат безкрайно често.
Приблизително по същото време двама носители на наградата „Фийлдс“ – Терънс Тао и Джеймс Мейнард, независимо един от друг разработват модифицирано сито, което им позволява да намалят това разстояние до 246 – резултат, който остава ненадминат и до днес.
По-конкретно това означава, че сред всички двойки прости числа (p, p + N) с разстояние от 2 до 246 се намира поне една двойка, която се среща безкрайно често. Методите за пресяване обаче не могат да бъдат достатъчно обобщени, за да се сведе резултатът до N = 2.